# ফর্মের ইন্টিগ্রেস $\ int ^ {∞} _ {- ∞} x ^ {2k} \ exp (-b ^ 2 (x + x_0) ^ 2) dx$, $k = 1,2$।

অনুগ্রহ করে আমাকে এই সংহতিকে সমাধানের জন্য সাহায্য করতে পারেন:

$$\ int ^ {∞} _ {- ∞} x ^ 2 \ exp (-b ^ 2 (x + x_0) ^ 2) dx \ , \, \, \ int ^ {+ ∞} _ {-}} X ^ 4 \ exp (-b ^ 2 (x + x_0) ^ 2) dx \; \;?$$

2

## 6 উত্তর

One may start with the gaussian integral $$\int^{∞}_{-∞} \exp(-b^2 u^2)du=\frac{\sqrt{\pi}}{b},\qquad b>0,$$ getting, by differentiation with respect to the parameter $b$, $$\int^{∞}_{-∞} u^2\exp(-b^2 u^2)du=\frac{\sqrt{\pi}}{2b^3},$$$$\int^{∞}_{-∞} u^4\exp(-b^2 u^2)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4b^4}.$$ Then, by the change of variable $$u=x+x_0,\qquad du=dx,$$ one obtains $$\int^{∞}_{-∞} x^2 \exp(-b^2 (x+x_0)^2)dx=\int^{∞}_{-∞} (u-x_0)^2\exp(-b^2 u^2)du$$$$\int^{∞}_{-∞} x^4 \exp(-b^2 (x+x_0)^2)dx=\int^{∞}_{-∞} (u-x_0)^4\exp(-b^2 u^2)du$$ and one may conclude by expanding the integrand, using the parity and the above results.

1
যোগ

One may start with the gaussian integral $$\int^{∞}_{-∞} \exp(-b^2 u^2)du=\frac{\sqrt{\pi}}{b},\qquad b>0,$$ getting, by differentiation with respect to the parameter $b$, $$\int^{∞}_{-∞} u^2\exp(-b^2 u^2)du=\frac{\sqrt{\pi}}{2b^3},$$$$\int^{∞}_{-∞} u^4\exp(-b^2 u^2)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4b^4}.$$ Then, by the change of variable $$u=x+x_0,\qquad du=dx,$$ one obtains $$\int^{∞}_{-∞} x^2 \exp(-b^2 (x+x_0)^2)dx=\int^{∞}_{-∞} (u-x_0)^2\exp(-b^2 u^2)du$$$$\int^{∞}_{-∞} x^4 \exp(-b^2 (x+x_0)^2)dx=\int^{∞}_{-∞} (u-x_0)^4\exp(-b^2 u^2)du$$ and one may conclude by expanding the integrand, using the parity and the above results.

1
যোগ

আপনি সম্পূর্ণ করা হবে যে একটি ধারণা: প্রথম অবিচ্ছেদ্য প্রতিস্থাপন

$$u: = x + x_0 \ implies du = dx \ implies \ int _ {\ bbb R} x ^ 2e ^ {- b ^ 2 (x + x_0 ^ 2)} dx = \ int _ {\ bbb R} (u -x_0) ^ 2e ^ {- (Bu) ^ 2} du =$$

$$= \ int _ {\ Bbb R} u ^ 2e ^ {- (bu) ^ 2} du-2x_0 \ int _ {\ bbb R} ue ^ {- (bu) ^ 2} du + x_0 ^ 2 \ int_ { \ Bbb R} e ^ {- (bu) ^ 2} du$$

উপরে প্রথম অবিচ্ছেদ্য অংশগুলি অংশীদার বা সাইন ইনটিগ্রালের অধীনে পার্থক্য করে, দ্বিতীয়টি তাৎক্ষণিক $\; u = (- 2bu) \ cdot \ left (- \ frac1 {2b} \ right) \;$ এবং $শেষ এক একটি স্বাভাবিক Gaussian অবিচ্ছেদ্য 0 যোগ আপনি সম্পূর্ণ করা হবে যে একটি ধারণা: প্রথম অবিচ্ছেদ্য প্রতিস্থাপন $$u: = x + x_0 \ implies du = dx \ implies \ int _ {\ bbb R} x ^ 2e ^ {- b ^ 2 (x + x_0 ^ 2)} dx = \ int _ {\ bbb R} (u -x_0) ^ 2e ^ {- (Bu) ^ 2} du =$$ $$= \ int _ {\ Bbb R} u ^ 2e ^ {- (bu) ^ 2} du-2x_0 \ int _ {\ bbb R} ue ^ {- (bu) ^ 2} du + x_0 ^ 2 \ int_ { \ Bbb R} e ^ {- (bu) ^ 2} du$$ উপরে প্রথম অবিচ্ছেদ্য অংশগুলি অংশীদার বা সাইন ইনটিগ্রালের অধীনে পার্থক্য করে, দ্বিতীয়টি তাৎক্ষণিক$ \; u = (- 2bu) \ cdot \ left (- \ frac1 {2b} \ right) \; $এবং$ শেষ এক একটি স্বাভাবিক Gaussian অবিচ্ছেদ্য

0
যোগ

Hint: Consider the integral $$I(\alpha)=\int_0^\infty x^ne^{-\alpha x^2}dx$$ for $n>0$ and $\alpha>0$, then with substitution $x=\sqrt{\dfrac{u}{\alpha}}$ we have $$I(\alpha)=\dfrac12\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\int_0^\infty u^{\frac{n-1}{2}}e^{-u}du=\dfrac12\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\dfrac{n+1}{2}\right)$$ now for $$J=\int_{-\infty}^\infty x^4e^{-b^2(x+x_0)^2}dx$$ with substitution $x=v-x_0$ then the integral $J$ break up to some integrals like $I(\alpha)$. We must note that for odd integer $n>0$, the integrand $x^ne^{-\alpha x^2}$ is an odd function, so $$\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-\alpha x^2}dx=0$$

0
যোগ

Hint: Consider the integral $$I(\alpha)=\int_0^\infty x^ne^{-\alpha x^2}dx$$ for $n>0$ and $\alpha>0$, then with substitution $x=\sqrt{\dfrac{u}{\alpha}}$ we have $$I(\alpha)=\dfrac12\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\int_0^\infty u^{\frac{n-1}{2}}e^{-u}du=\dfrac12\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\dfrac{n+1}{2}\right)$$ now for $$J=\int_{-\infty}^\infty x^4e^{-b^2(x+x_0)^2}dx$$ with substitution $x=v-x_0$ then the integral $J$ break up to some integrals like $I(\alpha)$. We must note that for odd integer $n>0$, the integrand $x^ne^{-\alpha x^2}$ is an odd function, so $$\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-\alpha x^2}dx=0$$

0
যোগ